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Jul 29, 2023

Zeitableitungen über miteinander verbundene Wellenleiter

Scientific Reports Band 13, Artikelnummer: 13126 (2023) Diesen Artikel zitieren 5013 Zugriffe auf 3 Details zu altmetrischen Metriken Das auf elektromagnetischen Wellen basierende analoge Rechnen ist zu einem interessanten Computing geworden

Wissenschaftliche Berichte Band 13, Artikelnummer: 13126 (2023) Diesen Artikel zitieren

5013 Zugriffe

3 Altmetrisch

Details zu den Metriken

Auf elektromagnetischen Wellen basierendes analoges Rechnen hat sich zu einem interessanten Rechenparadigma entwickelt, das das Potenzial für hohen Durchsatz, geringen Stromverbrauch und parallele Operationen demonstriert. In dieser Arbeit schlagen wir eine Technik zur Berechnung von Ableitungen zeitlicher Signale unter Nutzung von Übertragungsleitungstechniken vor. Wir betrachten mehrere miteinander verbundene Wellenleiter (von denen einige Stichleitungen mit geschlossenen Enden sind), die Übergänge bilden. Der Übertragungskoeffizient der vorgeschlagenen Struktur wird dann durch Steuerung der Länge und Anzahl der Stichleitungen an der Verbindungsstelle angepasst, sodass die Differenzierungsoperation direkt auf die Hüllkurve eines im Zeitbereich sinusförmig modulierten einfallenden Signals angewendet wird. Die Physik hinter der vorgeschlagenen Struktur wird im Detail erklärt und eine vollständige theoretische Beschreibung dieser Operation wird präsentiert, die zeigt, wie diese Technik zur Berechnung höherer Ordnung oder sogar gebrochener zeitlicher Ableitungen verwendet werden kann. Wir gehen davon aus, dass diese Ergebnisse die Entwicklung weiterer wellenbasierter Analogprozessoren im Zeitbereich durch die Nutzung von Wellenleiterverbindungen ermöglichen und neue Möglichkeiten für wellenbasierte Einzeloperatoren und -systeme eröffnen könnten.

In den letzten Jahren ist ein Bedarf an neuen Computerparadigmen entstanden, der vor allem auf die zunehmende Schwierigkeit zurückzuführen ist, die im Mooreschen Gesetz beschriebene historische Geschwindigkeit der Rechenbeschleunigung aufrechtzuerhalten1,2. In diesem Zusammenhang ist das analoge Rechnen unter Ausnutzung elektromagnetischer (EM) Signale ein Beispiel für solche vielversprechenden Paradigmen. Dies liegt an ihrem Potenzial für Hochgeschwindigkeitsberechnungen (EM-Wellen breiten sich mit Lichtgeschwindigkeit innerhalb des Materials aus, in dem sich die Wellen ausbreiten) und der inhärenten Parallelität, die mit EM-Berechnungstechniken3,4,5 verbunden ist (bei denen eine einzelne Struktur zur Berechnung entworfen werden kann). mehrere Rechenprozesse durch Ausnutzung beispielsweise unterschiedlicher einfallender Polarisation, Frequenz oder Winkel des einfallenden Signals6,7,8,9). Ein bemerkenswertes Beispiel des analogen Rechnens und wahrscheinlich eines der grundlegenden Werke auf diesem Gebiet war der Differentialanalysator, über den Hartree erstmals 193510 berichtete kontinuierliche Ausgabelösung (d. h. ein mechanisches Rechengerät). Im Zusammenhang mit EM-Wellen sind analoge Prozessoren so konzipiert, dass sie dieses Prinzip anpassen, um stattdessen die Lösung von Gleichungen zu berechnen, indem sie einen mathematischen Operator direkt auf eine EM-Wellenfront im Raum- oder Zeitbereich anwenden11.

In diesem Bereich wurden kürzlich verschiedene Beispiele für EM-Wellen-basierte Rechenstrukturen gemeldet, wie beispielsweise optische Netzwerke, die Rechenoperationen wie Matrixinversion12,13,14,15, transversale elektromagnetische (TEM) Pulsumschaltung mit Wellenleiternetzwerken16,17, durchführen können. 18,19 und analoges Rechnen mit dielektrischen Multischichten11,20. Darüber hinaus hat die Einführung von Metamaterialien21,22, künstlichen Medien, die eine außergewöhnliche Kontrolle über Wellen in Raum und Zeit zeigen können23,24,25,26,27,28,29,30,31, zunächst zum Konzept der „rechnergestützten Metamaterialien“ geführt eingeführt im Jahr 2014 von Silva et al.11. Seitdem wurden bemerkenswerte Beispiele für Metamaterialien für die Datenverarbeitung vorgeschlagen und demonstriert, um Operationen wie Differenzierung und Faltung durchzuführen7,32,33,34,35,36,37 sowie die Lösungen komplexerer Operationen wie gewöhnlicher Differentialgleichungen zu berechnen und Integralgleichungen6,34,38. Bei der analogen Datenverarbeitung zur Signalverarbeitung ist die Berechnung von Ableitungen eine besonders wichtige Aufgabe, da sie die Kantenerkennung ermöglicht, einen wichtigen ersten Schritt bei jeder Bild-/Signalerkennungsaufgabe32. Es wurde berichtet, dass verschiedene EM-Wellen-basierte analoge Prozessoren Differenzierung erster Ordnung sowohl im Raum- als auch im Zeitbereich durchführen. Beispiele hierfür sind Strukturen, die durch Anpassen der Permittivitätsverteilung oder Reflexions-/Transmissionsspektren eines Metamaterialblocks/einer Metamaterialoberfläche9,32,33,34 entworfen wurden. 38,39. In der Praxis erfordert dies oft die Feinabstimmung mehrerer Designparameter, wie etwa der Länge der dielektrischen Schichten in einer mehrschichtigen Struktur oder der Permittivität eines Pixels in einem 2D-Gitter9,11,20. Um dieses Ziel zu erreichen, wurden kürzlich verschiedene Entwurfstechniken angewendet und demonstriert, wie z. B. Fasergitter40,41, Mach-Zehnder-Interferometer42, erweiterte Optimierung und inverses Design43,44 sowie Ansätze des maschinellen Lernens20,45,46.

Inspiriert von der Bedeutung von Ableitungen für das Rechnen (und insbesondere für das analoge Rechnen mit EM-Wellen) schlagen wir in dieser Arbeit ein einfaches Gerät vor und untersuchen es, mit dem zeitliche Ableitungen berechnet werden können. Die Struktur wurde sorgfältig konstruiert, indem miteinander verbundene parallele Plattenwellenleiter und Stichleitungen als Übertragungsleitungen (TLs) genutzt werden. Die Physik hinter dem vorgeschlagenen Design wird detailliert dargestellt und die Struktur wird sowohl theoretisch als auch numerisch mit der kommerziellen Software CST Studio Suite® bewertet, was eine hervorragende Übereinstimmung zwischen ihnen zeigt. Wie gezeigt wird, kann die vorgeschlagene EM-Wellen-basierte Struktur zur Berechnung zeitlicher Ableitungen durch einfaches Modulieren eines ihrer Parameter (z. B. der Länge der Stichwellenleiter) angepasst und optimiert werden und kann so konstruiert werden, dass sie sowohl in der Übertragung als auch in der Übertragung funktioniert oder Reflexionsmodus, was volle Flexibilität im Design ermöglicht. Beispielsweise wird die vorgeschlagene Struktur implementiert, um die zeitliche Ableitung verschiedener Eingangssignale wie sinusförmig modulierter Gaußsignale (Modulationsfrequenz 8 GHz) und sogar beliebiger zeitlicher Funktionen zu berechnen. Diese Erkenntnisse können zur Entwicklung anderer analoger Signalprozessoren auf Wellenleiternetzwerkbasis führen, die mathematische und rechnerische Operationen im Zeitbereich ausführen können. Wir gehen davon aus, dass solche Geräte in Computerszenarien Anwendung finden könnten, in denen Vorgänge auf große oder kontinuierliche Datensätze angewendet werden, wie z. B. Audio- und Bilderkennung, wobei letztere bei Frequenzen von der Akustik über Mikrowellen bis hin zum optischen Bereich arbeiten.

Lassen Sie uns zunächst die wichtigsten Aspekte des Betriebs eines analogen Differenzierers diskutieren, wie in Abb. 1A dargestellt. Hier führt ein hypothetischer Prozessor (grauer Block) die Differenzierungsoperation an der Hüllkurve eines einfallenden Signals (von links angewendet) durch und gibt seine Lösung an seinem Ausgang (rechte Seite) zurück. Wie bekannt ist, wird die Differenzierung eines Zeitbereichssignals \(g(t)\) im Frequenzbereich als Multiplikation zwischen dem Spektrum des Eingangssignals \(G\left(f\right)=\mathcal{F} \left\{g(t)\right\}\) (wobei \(\mathcal{F}\) die Fourier-Transformation darstellt und \(f\) die Frequenz in Hz ist) um einen Faktor \(2\pi if\)20,32, was die Übertragungsfunktion des Differenzierers darstellt. In diesem Manuskript werden alle berechneten Funktionen für \(G(f)\) aus einem zeitlichen Signal \(g(t)\) so normiert, dass sie im Bereich 0–1 liegen; d. h. \({G}_{norm}\left(f\right)=G(f)/\mathrm{max}[G(f)]\) (dies ist auf die Implementierung passiver Materialien in unseren Designs zurückzuführen ). Für Signale, die durch eine Trägerfrequenz \({f}_{0}\) moduliert werden, wird nun der Faktor \(2\pi if\) (Übertragungsfunktion) einfach auf \(2\pi i(f-{f) verschoben }_{0})\)47, wie im Satz von Abb. 1A beobachtet. Daraus ist klar, dass, wenn man möchte, dass eine hypothetische Struktur eine zeitliche Differenzierung durchführen kann, ihre Übertragungsfunktion in der Lage sein sollte, \(2\pi i(f-{f}_{0})\) zu emulieren. Wichtig ist, dass die ideale Übertragungsfunktion eines Differenzierers [\(2\pi i(f-{f}_{0})\)] Werte größer als eins erzeugen kann. Da wir ausschließlich passive Materialien verwenden, sollte die Größe der Übertragungsfunktion wiederum zwischen 0 und 147 liegen. Um dies zu berücksichtigen, ist die ideale Übertragungsfunktion \(2\pi i(f-{f}_{0 })\) wird ebenfalls so normalisiert, dass es innerhalb von 0–1 liegt, sodass das Ausgangssignal im Frequenzbereich der entworfenen Strukturen den gleichen Wertebereich wie die normalisierte ideale/theoretische Ableitung hat und sich nur um a von den wahren Werten unterscheidet Normalisierungsfaktor11,20,38. Mit dieser Normalisierung fungiert ein hypothetisches Gerät als Differenzierer erster Ordnung, wenn seine Übertragungsfunktion einem linearen und symmetrischen V-förmigen Einbruch ähnelt, der um \({f}_{0}\) zentriert ist (wie oben beschrieben und in Abb. 1A dargestellt). ).

Analoger Differenzierer im Zeitbereich. (A) Blockdiagramm eines analogen Differenzierers, der einen Differenzierer erster Ordnung auf die Wellenfront eines einfallenden zeitlichen Signals durchführt. (B) Schematische Darstellung eines zeitlichen Differenzierers, der aus drei Stichleitungen mit geschlossenem Ende besteht, die mit Eingangs- und Ausgangswellenleitern verbunden sind. Die Wellenleiter sind parallele Platten und parallel geschaltet. (C) Größe (links) und Phase (rechts) des Übertragungskoeffizienten entsprechend der Übertragungsfunktion eines zeitlichen Differenzierers unter Verwendung einer unterschiedlichen Anzahl von Stichleitungen (von 1 bis 5), die mit einem Eingangs- und Ausgangswellenleiter verbunden sind. Hier gehen wir davon aus, dass alle Wellenleiter die Abmessungen \(h=w=0,0267{\lambda }_{0}.\) haben. (D) Schematische Darstellung der in Panel (C) untersuchten Konfigurationen unter Berücksichtigung der unterschiedlichen Anzahl verbundener Stichleitungen mit geschlossenen Enden zum Wellenleiterübergang. (E,F) Numerische Zeitbereichsergebnisse des in (B) dargestellten Differenzierers unter Verwendung von drei Wellenleitern (Länge \({L}_{s}=0,5237{\lambda }_{0})\), die mit Stichleitungen verbunden sind, wenn sie mit einem angeregt werden unmoduliertes (oberes Feld in E) bzw. moduliertes (8 GHz, oberes Feld in F) Gaußsches Signal. Die numerischen Ergebnisse der Ausgangssignale werden in den unteren Feldern von (E,F) (blaue Linien) zusammen mit den theoretischen Werten der zeitlichen Ableitung der Hüllkurve des einfallenden Signals (gestrichelte rote Linie) angezeigt.

Um nun eine Struktur zu entwerfen, die die V-Form der erforderlichen Übertragungsfunktion im Frequenzbereich emulieren kann, kann man TL-Techniken (z. B. Filterdesign) nutzen, um die Übertragungsfunktion nach Belieben anzupassen. Auf dieser Grundlage nutzen wir in dieser Arbeit einen Satz paralleler Plattenstichleitungen, die an einem zentralen Wellenleiterübergang mit einem Paar (Eingang und Ausgang) von Wellenleitern verbunden sind, wie schematisch in Abb. 1B dargestellt. Wie in unseren vorherigen Arbeiten16,18,19 betrachten wir zwei Arten von Wellenleiterverbindungen mit parallelen Plattenwellenleitern, die entweder in Reihe oder parallel geschaltet sind. Die vollständigen Einzelheiten zur Aufteilung und Überlagerung von Signalen an diesen Knotenpunkten finden Sie in 16, 18, 19. Der Vollständigkeit halber stellen wir hier die Grundkonzepte vor. Wenn die charakteristische Impedanz jedes Wellenleiters gleich ist und der Querschnitt des Übergangs im Vergleich zur einfallenden Wellenlänge48 klein ist, wird die Aufspaltung des einfallenden Signals nach Passieren des Übergangs durch die folgenden Streumatrizen beschrieben:

wobei \(\gamma = 2/N\) der Transmissionskoeffizient des Übergangs ist, \(N\) die Anzahl der verbundenen Wellenleiter, \({\varvec{I}}\) und \({\varvec{J} }\) sind die Identitäts- bzw. All-Einsen-Matrizen. In diesem Manuskript konzentrieren wir uns auf die Verwendung paralleler Übergänge. Der gleiche Ansatz könnte jedoch auch unter Verwendung miteinander verbundener Wellenleiter in einer Reihenkonfiguration genutzt werden (wie dies im Abschnitt S2 mit ergänzenden Materialien erläutert wird).

Wie in Abb. 1B gezeigt, verwenden wir einen Eingangs- (links) und einen Ausgangswellenleiter (rechts), die ein Netzwerk von Stichleitungen miteinander verbinden. Bei dieser Konfiguration teilt sich das vom linken Wellenleiter kommende einfallende Signal nach Passieren der Verbindungsstelle auf und erzeugt Signale, die zu allen miteinander verbundenen Wellenleitern wandern. Der Zweck der Stichwellenleiter besteht dann darin, diese „Kopien“ (gestreute Signale, die durch sie wandern) mit einer kleinen zeitlichen Verzögerung (im Vergleich zur zeitlichen Dauer des einfallenden Signals, wie weiter unten erläutert wird) zurück in den Knotenpunkt einzuspeisen, was möglich ist durch die Länge der Stichwellenleiter gesteuert werden (\(\Delta t= 2L\sqrt{{\varepsilon }_{r}{\mu }_{r}}/c\), mit εr und μr als relativer Permittivität und Permeabilität des Wellenleiterfüllmaterials und \(c\) ist die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum), wie erwartet. Dabei wird Vakuum als Füllmaterial verwendet (εr = μr = 1).

Wir betrachten zunächst ein Paar geschlossener Stichleitungen (abgeschlossen mit einem perfekten elektrischen Leiter, PEC), die an einer parallelen Verbindungsstelle mit dem Eingangs- und Ausgangswellenleiter verbunden sind, sodass an der Verbindungsstelle insgesamt vier Wellenleiter verbunden sind. Aus Gl. In 1a ist die Streumatrix dieses Übergangs durch \(-{\varvec{I}}+\) (\(1/2){\varvec{J}},\) mit \(\gamma =2/4) gegeben \) also \(N=4\). Basierend auf diesen Werten teilt sich ein einfallendes Signal, wenn es vom Eingangswellenleiter (links) an der Verbindungsstelle ankommt, in vier Signale gleicher Stärke auf (eines wandert entlang jedes Wellenleiters), die sich von der Verbindungsstelle weg ausbreiten. Insbesondere wenn ein einfallendes Signal \({x}_{in}\left(t\right)\) eine Amplitude von \({x}_{in}\) hat, ergibt sich aus Gl. In 1a wird ein Teil dieses Signals mit einer Amplitude \({x}_{in}/2\) an den Ausgangswellenleiter übertragen, eine Kopie (ebenfalls mit einer Amplitude \({x}_{in}/2\). )) wird zu jeder der Stichleitungen übertragen und ein reflektiertes Signal mit der Amplitude \(-{x}_{in}/2\) wird entlang des Eingangswellenleiters angeregt; Wir bezeichnen diesen Vorgang als „erste Teilung“. Wenn nun die Signale, die sich innerhalb der Stichleitungen bewegen, an den metallisch abgeschlossenen Enden ankommen, werden sie aufgrund der PEC-Grenze47 mit umgekehrter Polarität reflektiert. Diese reflektierten Signale wandern innerhalb der Stichleitungen und kommen am Knotenpunkt zurück (nach einer Zeitverzögerung \(\Delta t\) aufgrund der Laufzeit innerhalb der Stichleitungen, wie oben beschrieben), wo sie sich erneut in vier Signale aufspalten beschrieben durch Gl. 1a (wir nennen dies die „zweite Teilung“). Die Überlagerung aller Signale nach der zweiten Wechselwirkung (zweite Aufteilung) an der Wellenleiterverbindung löscht die Signale in Richtung der Stichleitungen mit metallischen Enden aus16,17,19,47 und es verbleiben nur zwei Signale, die sich von der Verbindung weg ausbreiten (eines entlang des Eingangs und eines entlang des Eingangs und jeweils einer entlang der Ausgangswellenleiter), beide mit einer Amplitude von \(-{x}_{in}/2\), verzögert um einen Faktor \(\Delta t\), wie oben erläutert. Mit anderen Worten: Die Signale, die sich nach der Reflexion an den Stichleitungen in Richtung der Eingangs- und Ausgangswellenleiter bewegen, werden an der Verbindungsstelle gestreut und sind definiert als \(-{x}_{in}\left(t-\Delta t\right)/ 2\). Interessanterweise wird das einfallende Signal \({x}_{in}\left(t\right)\) immer noch vom Eingang (linker Wellenleiter) angelegt, wenn die zweite Aufteilung auftritt \({x}_{in} \left(t\right)\) teilt sich ebenfalls auf und erzeugt nach dem Passieren der Kreuzung erneut vier Wellen (ähnlich der ersten Teilung, wie oben beschrieben). Wenn sich der Aufteilungsprozess wiederholt, wandern aufgrund der Aufteilung von \({x}_{in}\left(t\right)\) (mit an) zwei neue Signale entlang der Eingangs-/Ausgangswellenleiter vom Knotenpunkt weg Amplitude von \(-{x}_{in}/2\) bzw. \({x}_{in}/2\), die dann mit den verzögerten Signalen interagieren, die bei der zweiten Teilung erzeugt werden [von der Stichleitungen mit metallischen Enden \(-{x}_{in}\left(t-\Delta t\right)/2\))]. Daher kann man das Prinzip der Überlagerung erneut anwenden, um zu zeigen, dass die Signale, die sich entlang des Ausgangs [\({y}_{out}\left(t\right)\), rechts] und des Eingangs [\({y}_ {in}\left(t\right)\), left] Wellenleiter sind jeweils die Summe aller Signale, die aufgrund der Aufteilung des neuen \({x}_{in}\left(t\right) \) und die durch die zweite Aufteilung erzeugten verzögerten Signale, mathematisch wie folgt beschrieben:

Interessanterweise ist Gl. 2a ähnelt in der Tat der bekannten Finite-Differenzen-Gleichung erster Ordnung49:

Dabei ist klar, wie die Ausgabegleichung [\({y}_{out}\left(t\right)\)] aus Gl. 2a ähnelt Gl. 3, nur durch eine Konstante unterschiedlich. Aus diesem Grund ist zu beachten, dass für kleine Werte von \(\Delta t\) (so dass die Variation der Einhüllenden innerhalb eines zeitlichen Bereichs \(\Delta t\) um \(t\) durch einen Taylor erster Ordnung angenähert werden kann Serie49) entspricht das beobachtete Ausgangssignal der Form der ersten Ableitung im Zeitbereich. Darüber hinaus ist die Übertragungsfunktion (Frequenzbereich) der Differenzieroperation aus Gl. 3 hat eine lineare V-Form (wie zuvor erläutert), die Übertragungsfunktion des Wellenleiternetzwerks aus Gl. 2a weist ebenfalls eine lineare V-Form in der Nähe der Modulationsfrequenz des einfallenden Signals auf. Beachten Sie vor allem, dass sich die obige Beschreibung auf die „Amplitude“ der Signale konzentriert. Diese Technik ist jedoch allgemein und kann tatsächlich auf einfallende modulierte Signale angewendet werden (wie weiter unten gezeigt wird). In diesem Fall ist jedoch die Zeitverzögerungsvariable \(\Delta t\) ein Schlüsselfaktor, da sie so konstruiert werden muss, dass sie sicherstellt, dass die von der Verbindungsstelle nach der zweiten Teilung gestreuten Signale \(180^\) betragen. circ\) phasenverschoben (d. h. \(-{x}_{in}\left(t-\Delta t\right)/2\), wie oben erklärt) mit dem Signal, das aufgrund der an den Ausgangswellenleiter übertragen wird Aufteilung (neue erste Aufteilung) des neuen Eingangs, dh \([{x}_{in}\left(t\right)/2]\) (wie durch Gleichung 2a beschrieben). Beispielsweise ist diese Bedingung für mit Luft gefüllte Wellenleiter mit parallelen Platten erfüllt, wenn die Länge \({L}_{s}\) der geschlossenen Stichleitung (mit metallischen Enden) \({L}_{s}={ L}_{geschlossen}= {\lambda }_{0}/2\) (mit \({\lambda }_{0}\) als Wellenlänge der Modulationsfrequenz des einfallenden Signals). Beachten Sie, dass dies auch mit Wellenleitern mit offenen Enden möglich ist, wobei die Bedingung erfüllt ist, wenn \({L}_{s}={L}_{open} = {\lambda }_{0}/4\)47 ,50.

Im vorherigen Abschnitt haben wir vier miteinander verbundene Wellenleiter betrachtet (ein Eingang, ein Ausgang und zwei Stichleitungen). Es ist auch möglich, die erforderliche V-förmige Übertragungsfunktion auf die Anforderungen spezifischer Aufgaben abzustimmen, beispielsweise um die Bandbreite des Differenzierungsoperators zu steuern, der vom Wellenleiternetzwerk emuliert wird. Zu diesem Zweck kann die Übertragungsfunktion (z. B. der Transmissions-/Reflexionskoeffizient) einer Verbindung von N Wellenleitern durch \(M=N-2\) an der Verbindung verbundene Stichleitungen unter Berücksichtigung der Länge jeder einzelnen Stichleitung parametrisiert werden, \( {L}_{sj}\), wobei \(j\) die Stub-Zahlen (von eins bis \(M\)) und \({\Gamma }_{j,\pm 1}\) den Reflexionskoeffizienten darstellt der einzelnen Stubs (wiederum bedeutet \(j\) die Stub-Nummer und \(\pm 1\) bezeichnet einen Stub mit geschlossenem, \(-1\) oder offenem, \(+1\). 47. Eine vollständige mathematische Ableitung der Transmissions- und Reflexionskoeffizienten für eine beliebige Kombination von Parametern finden Sie im Abschnitt S1 zu ergänzenden Materialien. Im vereinfachten Fall, in dem alle Stubs identisch sind (\({L}_{sj}={L}_{s}, {\Gamma }_{j,\pm 1}=\Gamma\)), kann die Übertragungsfunktion geschrieben werden als

Unter Verwendung von Gl. In Abb. 4 ist die Übertragungsfunktion (in unserem Fall Betrag und Phase des Übertragungskoeffizienten) für ein bis fünf identische geschlossene Stichleitungen der Länge \({\lambda }_{0}/2\) zusammen mit dem Schema in Abb. 1C dargestellt Der Vollständigkeit halber sind die Darstellungen in Abb. 1D dargestellt. Wie gezeigt wird, ist die Größe der Übertragungsfunktion für alle Designs ungefähr linear (V-Form) in der Nähe der normalisierten Frequenz \(f/{f}_{0}\), ein erforderliches Merkmal, wenn man a emulieren möchte Differenzierungsoperator, wie im vorherigen Abschnitt beschrieben. Diese Leistung kann auch durch Betrachtung der Phasendiskontinuität51 im rechten Feld von Abb. 1C bestätigt werden, die bei \(f/{f}_{0}\) auftritt. Wie in Abb. 1C gezeigt, wurde nun durch Variation der Anzahl der verbundenen Stichleitungen an der Verbindungsstelle die spektrale Breite des linearen Bereichs um \({f}_{0}\) maximiert, wenn drei Stichleitungen implementiert wurden.

Um den vorgeschlagenen Differenzierer mithilfe von TL-Techniken weiter zu bewerten, führten wir numerische Studien mit dem Zeitbereichslöser der kommerziellen Software CST Studio Suite® durch, wobei Vollwellensimulationen der in Abb. 1B gezeigten Struktur (d. h. drei miteinander verbundene geschlossene Stubs) durchgeführt wurden als beste Ergebnisse der Übertragungsfunktion aus Abb. 1C). Weitere Einzelheiten zum Simulationsaufbau finden Sie im Abschnitt „Methoden“ weiter unten. Wir betrachten ein Gaußsches Eingangssignal, sowohl unmoduliert als auch moduliert bei 8 GHz, wie in den oberen Feldern von Abb. 1E bzw. F dargestellt. In beiden Fällen betrug die Standardabweichung des Gaußschen Signals im Zeitbereich σ = \(0,50\) ns. Die numerischen Ergebnisse wurden mit der analytisch berechneten Ableitung der Hüllkurve des einfallenden Signals (Gaußsche un/modulierte Funktion) verglichen und die Ergebnisse sind in den unteren Feldern von Abb. 1E,F dargestellt. Wie beobachtet, wird eine ausgezeichnete Übereinstimmung zwischen den analytischen und numerischen Ergebnissen erzielt, was zeigt, wie das entworfene Netzwerk von Wellenleitern die Übertragungsfunktion des Differenziereroperators im Frequenzbereich für eine Ableitung im Zeitbereich (V-förmige Übertragungsfunktion) emuliert. kann damit die zeitliche Ableitung der Einhüllenden einfallender zeitlicher Signale berechnet werden. Wie oben beschrieben, konzentrieren wir unsere Bemühungen hier auf geschlossene Stichleitungen. Der Vollständigkeit halber werden Beispiele für offene Stichleitungen, Reihenverbindungen und Kombinationen davon im Abschnitt S2 mit ergänzenden Materialien aufgeführt.

Die in Abb. 1 gezeigten Übertragungsfunktionen wurden mithilfe der TL-Theorie unter der Annahme einer perfekten Aufteilung der einfallenden Signale am Wellenleiterübergang48,52 berechnet. Diese perfekte Aufteilung, wie in Gl. 1 berücksichtigt auch, dass der Querschnitt aller Wellenleiter unendlich klein oder klein genug ist, um die Vernachlässigung von Randfeldern zu ermöglichen, die an der Verbindungsstelle auftreten. Eine schematische Darstellung dieses perfekten Aufteilungsverhaltens ist in Abb. 2A dargestellt, wo ein einfallendes Signal gemäß Gleichung (1) gleichmäßig zwischen allen verbundenen Wellenleitern gestreut wird. 1a. Allerdings handelt es sich, wie oben erwähnt, um eine Näherung, die nur für kleine Querschnitte im Vergleich zur Größe der einfallenden Wellenlänge gültig ist48. Daher ist es wichtig, den Einfluss nicht idealer Streuung auf die Leistung des Differenzierers zu untersuchen.

Auswirkungen unvollständiger Streuung auf die Leistung des zeitlichen Differenzierers. (A) Schema der perfekten Aufspaltung (im Grenzfall \(a<<{\lambda }_{0}\)), emuliert durch die Strahlung eines Dipols. (B) Nicht perfekte Aufteilung im Zusammenhang mit der Größe des Verbindungsquerschnitts ungleich Null (links) und der möglichen Winkelasymmetrie der Verbindungsstellen (rechts). (C,D) numerische Ergebnisse, die jeweils die Auswirkungen der in (B) gezeigten Fälle zeigen. Wir betrachten einen zeitlichen Differenzierer, der mit zwei PEC-abgeschlossenen Stichleitungen und Wellenleitern mit der Querschnittsgröße \(w=h=a=0,0267{\lambda }_{0}\) (\({\lambda }_{0}\) als entworfen wurde die Wellenlänge im freien Raum bei einer Frequenz von 8 GHz). (C) (linkes Feld) Numerische (schwarz) und theoretische (rot) Größen des Transmissionskoeffizienten für einen Differenzierer mit zwei Stichleitungen mit \({L}_{s}=0,5{\lambda }_{0}\). Diese Ergebnisse zeigen die Auswirkung einer Übergangsgröße ungleich Null auf die ideale perfekte Aufteilung. (Zweites Feld) Berechnete Frequenzverschiebung zwischen den numerischen und theoretischen Minima des Transmissionskoeffizienten (schwarz) entlang der Amplitude des numerischen Minimums als Funktion des Verbindungsskalierungsparameters \(a\). (Drittes Feld) Größe der Frequenzverschiebung (zwischen den numerischen und theoretischen Minima) als Funktion der Zielfrequenz und der hinzugefügten Länge \(\Delta L\), normalisiert in Bezug auf den Skalierungsparameter \(a\) (\( \Delta L/a\)) der Kreuzung. (Rechtes Feld) Wiederholung der im linken Feld dargestellten Simulation, jedoch jetzt mit \(\Delta L\) = \(0,85a=0,0227{\lambda }_{0}\). (D) (linkes Feld) numerische Ergebnisse (schwarz, grün und blau), die die Größe des Transmissionskoeffizienten zeigen, wenn der Winkel zwischen zwei Stichleitungen \(0^\circ ,25^\circ\) und \(45^\ circ\), jeweils unter Berücksichtigung von Stubs mit \({L}_{s}=0,5237{\lambda }_{0}\). Die theoretischen Werte (rot gestrichelt) für \({L}_{s}=0,5{\lambda }_{0}\) (d. h. keine zusätzliche Länge, da der theoretische Übertragungskoeffizient nicht mit dem Winkel zwischen den Stichleitungen variiert) gelten ebenfalls geplottet. (D) (zweites Feld) RMSE zwischen den numerischen und normalisierten idealen (linearen V-förmigen) Übertragungskoeffizienten für Strukturen mit Winkeln zwischen Stichleitungen im Bereich von \(-60^\circ\) bis \(60^\circ\). (D) (dritte Tafel) Größe des Übertragungskoeffizienten für einen Winkel zwischen Stichleitungen von \(25^\circ\), wie im linken Tafel dargestellt, wenn die Länge der gedrehten Stichleitung von 0,2 auf 0,6 mm erhöht wird. Der Vollständigkeit halber ist das Spektrum des theoretischen/Idealfalls (rot gestrichelt) dargestellt. (D) (rechtes Feld) die berechnete zusätzliche Länge der Stichleitung, die erforderlich ist, um den RMSE zwischen dem numerischen und dem idealen Übertragungskoeffizienten für Stichleitungswinkel im Bereich von \(-60^\circ\) bis \(60^\circ\) zu minimieren.

Hier können zwei Hauptursachen für nicht ideale Leistung identifiziert werden: Die erste ergibt sich aus der endlichen Querschnittsfläche der Wellenleiter, die zu einer Übergangsgröße ungleich Null führt. Qualitativ ermöglicht dies, dass einfallende Signale im Vergleich zum idealen Aufteilungsmodell (das eine ideale Größe des Nullübergangs berücksichtigt) einen kürzeren Weg durch den Übergang zu den benachbarten Wellenleitern nehmen. Dieses Konzept wird im linken Feld von Abb. 2B demonstriert, wo ein einfallendes Signal vom linken Wellenleiter den reduzierten roten Pfad anstelle des in den theoretischen Berechnungen berücksichtigten idealen grünen Pfades durchlaufen kann. Diese Leistung führt zu einer Verringerung der effektiven Länge des mit der Verbindung verbundenen Wellenleiterstumpfs, was zu einer Verschiebung der Übertragungsfunktion des Geräts führt, wie im Feld ganz links in Abb. 2C zu sehen ist. In diesem Panel wird die Größe des Transmissionskoeffizienten unter Berücksichtigung eines Designs mit zwei Stichleitungen unter Verwendung der theoretischen Berechnungen aus Gl. 4 (rote gestrichelte Linie) und die numerischen Simulationen mit dreidimensionalen Wellenleitern mit \(w =h\) = \(a=\) 1 mm (\(0,0267{\lambda }_{0}\)). Hier wird dann der Parameter \(a\) als Skalierungsparameter verwendet, der eine Änderung des Querschnitts der Wellenleiter berücksichtigt. Die Frequenzverschiebung, dargestellt durch das Verhältnis zwischen der numerischen und theoretischen Frequenz, bei der der Transmissionskoeffizient nahezu Null ist (\({f}_{0}\)), als Funktion der Abmessung \(a\) der Wellenleiter ist im zweiten Feld derselben Abb. 2C gezeigt, was bestätigt, dass im Grenzfall \(a<<{\lambda }_{0}\) die Frequenzverschiebung des Minimums des numerisch berechneten Spektrums (\({f} _{min}\)) ist vernachlässigbar (in Bezug auf die Häufigkeit des theoretischen Minimums \({f}_{0}\), d. h. \({f}_{min}\ approx {f}_{0}\ )). Allerdings kann man den Effekt der Nicht-Null-Übergangsgröße kompensieren, indem man die Länge der Stichleitungen erhöht. Dazu muss die gewählte Längenzunahme der Gesamtverkürzung der Pfadlänge entsprechen, die durch die oben beschriebene Übergangsgröße ungleich Null entsteht. Dies wird im dritten Feld von Abb. 2C demonstriert, wo die Verschiebung der Frequenz, bei der das Minimum des Transmissionskoeffizienten auftrat, \(|\Delta f|=|({f}_{min,num}-{f}_ {min,theo})|\) (wobei \({f}_{min,num}\) und \({f}_{min,theo}\) die Häufigkeit ist, bei der das Transmissionskoeffizientenminimum im auftrat numerische Simulation bzw. theoretische Berechnungen) wird für einen Bereich von Zielfrequenzen und hinzugefügten Längen \(\Delta L\) (normalisiert in Bezug auf den Skalierungsparameter \(a\), \(\Delta L/a\)) dargestellt. . In dieser Studie bezieht sich die Zielfrequenz auf die Frequenz, bei der das theoretische Minimum der V-Form der Übertragungsfunktion auftritt, unter der Annahme einer perfekten Aufteilung und ohne zusätzliche Länge der Stichleitungen; mit anderen Worten, die Zielfrequenz ist die Modulationsfrequenz des einfallenden Signals \({f}_{0}\)). Die in diesem Bereich dargestellte weiße gestrichelte Linie stellt den Betrag der normalisierten zusätzlichen Länge dar, der die Frequenzverschiebung minimiert. Zum Beispiel die Frequenzverschiebung im Differenzierer mit einer Zielfrequenz von \({f}_{0} = 8\) GHz und zwei Stichleitungen mit Abmessungen wie im Beispiel aus Abb. 2C, Feld ganz links (\(a=w). =h=\) \(0.0267{\lambda }_{0}\)) wurde durch eine Vergrößerung der Stichleitungslänge von \(\Delta L=0.0227{\lambda }_{0}\) minimiert. Der Transmissionskoeffizient dieser Struktur nach Addition der Länge \(\Delta L\) ist im rechten Feld von Abb. 2C dargestellt, wo man beobachten kann, wie die numerischen Simulationen mit dem realistischen Wellenleiter nun gut mit den theoretischen Berechnungen unter Verwendung von übereinstimmen TL-Technik.

Der zweite Grund für die nicht ideale Aufteilung liegt in der effektiven räumlichen Asymmetrie zwischen den am Wellenleiterübergang verbundenen Stichleitungen. Abgesehen von der Verbindungsgröße variiert beispielsweise der reduzierte Weg durch die Verbindungsstelle auch mit dem Winkel, in dem der Wellenleiter mit der Verbindungsstelle verbunden ist, wie schematisch im rechten Feld von Abb. 2B dargestellt. Wenn mehrere Stichleitungen an eine einzelne Verbindungsstelle angeschlossen sind, kann die Asymmetrie zwischen den Winkeln der verbundenen Stichleitungen zu unterschiedlichen Weglängen durch die Verbindungsstelle zu den einzelnen verbundenen Stichleitungen führen. Dies führt zu einer Phasenfehlanpassung zwischen den Signalen, die von den verschiedenen Stichleitungen in die Verbindungsstelle reflektiert werden. Welche Auswirkung dies auf die Übertragungsfunktion des Geräts hat (in unserem Fall der Übertragungskoeffizient), lässt sich anhand der Ergebnisse im linken Feld von Abb. 2D untersuchen, in denen die Größe des Übertragungskoeffizienten als Winkel zwischen zwei Stichleitungen dargestellt ist verbunden an einem 4-Wellenleiter-Übergang (wie in Abb. 2B) variiert von \(\theta =0^\circ\) (ideales Szenario) bis \(\theta =25^\circ\) oder \(\theta = 45^\circ\), als Beispiele. Hier betrachten wir einen Entwurf mit \(a=w=h=1\) mm (\(0,0267{\lambda }_{0}\)) Wellenleitern und Stichleitungen mit einer Länge \({L}_{s}\) von \(0,5237{\lambda }_{0}\) (für \({\lambda }_{0}=37,5\) mm, wiederum für eine Frequenz \({f}_{0}\) von \( 8\) GHz), gemessen von der Mitte des Wellenleiterübergangs bis zum metallisch abgeschlossenen Ende der Stichleitungen. Wie man sehen kann, wird mit zunehmendem \(\theta\) der lineare V-förmige Übertragungskoeffizient aufgrund der Phasenfehlanpassung zwischen den Signalen von den beiden Stichleitungen verzerrt. Um diese Verzerrung zu quantifizieren, haben wir den quadratischen Mittelfehler (RMSE) zwischen den numerischen Ergebnissen des Übertragungskoeffizienten für verschiedene Stichleitungswinkel (im Bereich von \(-60^\circ\) bis \(60^\circ\) mit a berechnet Schritt von \(5^\circ\)) und eine ideale lineare V-förmige Übertragungsfunktion, zentriert bei f0 \(({T}_{ideal}=C|f-{f}_{0}|)\) wobei \({T}_{ideal}\) ist der Übertragungskoeffizient der idealen Funktion und \(C\) ist ihre entsprechende Skalierungskonstante, nachdem sie so normiert wurde, dass sie innerhalb des gewünschten Frequenzbereichs zwischen 0 und 1 liegt. Die berechneten RMSE-Werte sind im zweiten Feld von Abb. 2D dargestellt. Aus diesen Ergebnissen geht hervor, dass die durch die Phasenfehlanpassung aufgrund der unterschiedlichen Winkel der Stichleitungen verursachte Verzerrung erwartungsgemäß um 0° herum symmetrisch ist, wobei die Verzerrung mit zunehmendem \(\theta\) zunimmt. Aus der Perspektive der Weglänge lässt sich diese Symmetrie verstehen, wenn man die erste und zweite Aufteilung des Signals an der Verbindungsstelle betrachtet: Wenn die erste Aufteilung stattfindet, beobachtet das einfallende Signal eine gedrehte Stichleitung mit einem Winkel von \(90^\circ). +\theta\) (Winkel zwischen den Eingangs- und Stichwellenleitern). Bei der zweiten Teilung (nachdem das Signal am metallischen Ende der Stichleitung reflektiert wurde) erfährt das Signal, das sich zur Verbindungsstelle bewegt, einen Winkel von \(90^\circ -\theta\) (zwischen der Stichleitung und den Ausgangs-/Eingangswellenleitern). ). Aus diesem Grund ist die Verzerrung des Transmissionskoeffizienten symmetrisch um \(\theta =0^\circ\), da der kombinierte Wegunterschied der ersten und zweiten Teilung für positive und negative Winkel gleich ist (nur die Reihenfolge ändert sich). in dem die Gangunterschiede beobachtet werden). Diese Verzerrung (hier mit RMSE gemessen, wie oben besprochen und in Abb. 2C gezeigt) im Übertragungskoeffizienten kann auch durch Erhöhen der Länge der gedrehten Stichleitung überwunden werden, um die Verringerung ihrer Weglänge auszugleichen. Ein Beispiel ist im dritten Feld von Abb. 2D dargestellt, wo beobachtet wird, wie sich die numerischen Ergebnisse des Transmissionskoeffizienten für ein Paar von \(a=w=h=1\) mm (\(0,0267{\lambda }_{ 0}\)) Stubs, von denen einer um einen Winkelunterschied von \(20^\circ\) gedreht ist, werden durch die hinzugefügte Länge beeinflusst. Vor diesem Hintergrund wird am Ende der gedrehten Stichleitung eine Ausgleichslänge hinzugefügt, bis die berechnete Verzerrung minimiert ist. Für den Fall \(25^\circ\) geschah dies unter Verwendung einer zusätzlichen Länge von \(\Delta L= 0,6\) mm \((0,0160{\lambda }_{0})\) mit einer Zielfrequenz von \ (8\) GHz. Der Vollständigkeit halber ist das erforderliche \(\Delta L\) zur Minimierung der Verzerrung des Übertragungskoeffizienten als Funktion des Drehwinkels einer der Stichleitungen im vierten Feld von Abb. 2D dargestellt. Wie beobachtet, war im Bereich von \(-15^\circ\) bis \(15^\circ\) kein \(\Delta L\) erforderlich, was bedeutet, dass experimentelle/Herstellungsfehler vernachlässigbar sind, solange die Drehung erfolgt Der Winkel des hergestellten Wellenleiterstumpfs überschreitet diese Werte nicht.

Um die Leistung der vorgeschlagenen Strukturen für die zeitliche Differenzierung weiter zu untersuchen, wurden numerische Vollwellensimulationen mit dem Zeitbereichslöser der kommerziellen Software CST Studio Suite® durchgeführt. Eine vollständige Beschreibung des Simulationsaufbaus finden Sie im Methodenteil. Ein zeitlicher Differenzierer erster Ordnung wurde unter Verwendung zweier identischer Stichleitungen mit geschlossenen Enden und denselben Parametern wie in Abb. 2D modelliert, wobei alle Wellenleiter einen Querschnitt mit den Abmessungen \(w=h=\) \(1\) hatten. mm (\(0,0267{\lambda }_{0},\) mit wiederum \({\lambda }_{0}\) als Wellenlänge im freien Raum bei 8 GHz) und mit Vakuum gefüllt (\({\ varepsilon }_{r}=1, {\mu }_{r}=1\)). In diesem Abschnitt wird die Leistung des Differenzierers beim Betrieb sowohl in Transmissions- als auch in Reflexionskonfigurationen bewertet. Aus der TL-Theorie wird erwartet, dass die Transmissions- und Reflexionskoeffizienten der entworfenen 4-Wellenleiter-Struktur komplementär sind (vorausgesetzt, dass die Verluste vernachlässigbar sind47). Auf dieser Grundlage wird das V-förmige Spektrum des Transmissions-/Reflexionskoeffizienten zwar sein Minimum bei verschiedenen Frequenzen aufweisen, die Breite des linearen Spektralbereichs im Transmissions- und Reflexionskoeffizienten ist jedoch gleich (siehe Einschübe in Abb. 3A, C). , jeweils). Wie im Bild ganz rechts in Abb. 2C wurde die Länge der beiden Stichleitungen zu \({L}_{s}=19,637\) mm (\(0,5237{\lambda }_{0}\) gewählt. ), um einen V-förmigen Abfall der Übertragungsfunktion bei \(8\) GHz bzw. \(4\) GHz zu erzeugen, wenn im Transmissions- bzw. Reflexionsmodus gearbeitet wird (siehe Abb. 3A bzw. C). Von diesem Entwurf ist zu erwarten, dass, wenn ein einfallendes zeitliches Signal vom Eingangswellenleiter mit einer Modulationsfrequenz von \(8\) GHz angelegt wird, das differenzierte Signal im Zeitbereich am Ausgangswellenleiter beobachtet wird, während das zeitlich differenzierte Das Signal erscheint am einfallenden Wellenleiter (reflektiertes Signal), wenn die modulierte Frequenz \(4\) GHz beträgt (siehe die entsprechende Übertragungsfunktion jeder Übertragungs-/Reflexionskonfiguration als Einschübe in Abb. 3A, C).

Numerische Ergebnisse erster Ordnung. Numerische Ergebnisse eines Differenzierers erster Ordnung mit zwei metallisch abgeschlossenen Stichleitungen der Länge \(0,5237{\lambda }_{0}\), hergestellt aus Wellenleitern mit dem Querschnitt \(w=h=0,0267{\lambda }_{0}\ ) (\({\lambda }_{0}=37,5\) mm, \({f}_{0}=8\) GHz). (A) Numerische Ergebnisse der elektrischen Feldverteilung in Raum und Zeit für unseren vorgeschlagenen Differenzierer erster Ordnung unter Berücksichtigung einer einfallenden 8 GHz modulierten Gaußschen Kurve (Standardabweichung \(\sigma =0,5\) ns). Diese Ergebnisse werden entlang der Ausbreitungsachse der gesamten Struktur bei \(x=y=0\) berechnet. (B) Zeitbereichssimulationsergebnisse des in (A) dargestellten Szenarios, berechnet an den Enden der Eingangs- und Ausgangswellenleiter (\(z= \pm 500\) mm \(=13,3{\lambda }_{0}\) ). Das Eingangssignal im Zeitbereich wird auf dem linken Feld als schwarze Linie angezeigt, zusammen mit den numerischen Ergebnissen der aufgezeichneten Spannung (mittleres Feld), berechnet am Ende des Ausgangswellenleiters (\(z=500\) mm \( = 13,3{\lambda }_{0}\)) und die theoretische Ableitung der Einhüllenden im Zeitbereich (blaue bzw. gestrichelte rote Linie). Der Vollständigkeit halber wird der Frequenzinhalt der einfallenden und ausgegebenen Signale auf der rechten Seite angezeigt. (C,D) wie Panels (A,B) mit gleicher Struktur, jedoch in Reflexionskonfiguration. Hier verwenden wir ein 4 GHz moduliertes einfallendes Gaußsches Signal (gleiche Standardabweichung wie B). Die numerischen Ergebnisse der reflektierten Signale sowohl im Zeit- als auch im Frequenzbereich sind als grüne Linien in (D) dargestellt. (E) Unmoduliertes beliebiges Eingangssignal, das die Tyne Bridge (rote Linie) darstellt, ein lokales Wahrzeichen von Newcastle Upon Tyne im Vereinigten Königreich. (F) Numerische (blaue Linie) und theoretische (gestrichelte rote Linie) Ergebnisse der Ausgangsspannung als Funktion der Zeit für das Szenario aus (E).

Um dies zu verifizieren, wurden die numerischen Ergebnisse eines einfallenden zeitlichen Signals mit einer Gaußschen Hüllkurve (\(\sigma =0,5\) ns mit einer maximalen Spannung von \(1\) V), moduliert bei \(8\) GHz und \(4 \) GHz sind in Abb. 3A–D dargestellt (siehe einfallendes Signal im linken Feld von Abb. 3B,D). Zur Anregung der Struktur wird ein Wellenleiteranschluss am Eingangswellenleiter (Port \(1\) genannt) verwendet und die Ergebnisse im Transmissionsmodus werden über einen zweiten Port am Ende des Ausgangswellenleiters (Port \(2\)) aufgezeichnet. . Bei dieser Konfiguration wird die aufgezeichnete Zeitbereichsspannung am Port \(2\) im mittleren Feld von Abb. 3B (blaue Linie) zusammen mit der theoretisch berechneten zeitlichen Ableitung der Hüllkurve des einfallenden Signals (gestrichelte rote Linie) angezeigt. . Schließlich sind auch die Frequenzspektren sowohl für numerische als auch für theoretische Ergebnisse im rechten Bereich derselben Abb. 3B dargestellt. Wie beobachtet, wird sowohl im Zeit- als auch im Frequenzbereich eine hervorragende Übereinstimmung erzielt. Der Vollständigkeit halber sind die numerischen Ergebnisse der Raum-Zeit-Ausbreitung des einfallenden Signals in Abb. 3A dargestellt (berechnet bei \(x = y = 0\) entlang der \(z\)-Achse) und bestätigen, wie das übertragene Signal korrespondiert zur zeitlichen Ableitung des einfallenden Signals. In ähnlicher Weise sind die Ergebnisse der Struktur, die in Reflexion arbeitet, in Abb. 3C, D dargestellt, wo die einfallenden und reflektierten Signale im Zeitbereich im linken und mittleren Feld von Abb. 3D zusammen mit dem spektralen Inhalt des reflektierten Signals dargestellt sind rechtes Feld derselben Figur. Beim Vergleich der numerischen und theoretischen Ergebnisse im Reflexionsmodus kann man eine hervorragende Übereinstimmung zwischen ihnen feststellen. Beachten Sie jedoch, dass das Spektrum der numerischen Ergebnisse (grüne Linie im rechten Feld von Abb. 3D) nicht symmetrisch ist, da höhere Frequenzen kleinere Amplituden haben. Wie im vorherigen Abschnitt besprochen und in Abb. 2C dargestellt, sollte die Länge der Stichleitungen aufgrund des Werts der Wellenleiterquerschnitte ungleich Null so abgestimmt werden, dass die perfekte Aufteilung am Übergang bei der erforderlichen Zielfrequenz erfolgt. Nach diesem Ansatz ist die in Abb. 3 untersuchte Struktur so abgestimmt, dass sie bei der Übertragung bei 8 GHz arbeitet (mit einer zusätzlichen Länge der Stichleitungen von \(0,0237{\lambda }_{0}\)). Daher ist zu erwarten, dass es beim theoretischen Minimum der V-Form des Reflexionskoeffizienten zu einer leichten Frequenzabweichung kommt, da diese bei einer anderen Frequenz (theoretisch bei 4 GHz) auftritt. In dem in Abb. 3C, D gezeigten Fall beträgt die zentrale Frequenz des Reflexionskoeffizienten in der Simulation 3,904 GHz, was erwartungsgemäß leicht von 4 GHz abweicht, was zu einem asymmetrischen Reflexionskoeffizienten führt, wie in Abb. 3D gezeigt. Das Raum-Zeit-Diagramm ist in Abb. 3C dargestellt, wenn in Reflexion gearbeitet wird, und zeigt, wie das reflektierte Signal immer noch der zeitlichen Ableitung entspricht.

Der Vollständigkeit halber und um zu zeigen, dass die entworfene Struktur mit verschiedenen Einfallssignalen arbeiten kann, wurde auch ein beliebiges Einfallssignal implementiert. Hier wurde das einfallende Signal definiert, indem das Profil einer Landmarke von Newcastle Upon Tyne, der Tyne Bridge, in ein Zeitbereichssignal umgewandelt wurde, wie in Abb. 3E dargestellt. Das resultierende Signal nach Durchlaufen der vorgeschlagenen Struktur ist in Abb. 3F dargestellt. Durch den Vergleich der numerischen Ausgabe und der mithilfe der Finite-Differenzen-Methode ermittelten theoretischen Ableitung lässt sich erkennen, wie der vorgeschlagene zeitliche Differenzierer auch die Lage der Kanten in der Brückenstruktur (gekennzeichnet durch die Spitzen in der Ableitung) erfolgreich identifizieren kann B. die Berechnung des Neigungswerts entlang des Brückenbogens. Diese Ergebnisse zeigen, wie die vorgeschlagene Struktur zur Kantenerkennung zeitlicher Signale verwendet werden kann.

Wie in den vorherigen Abschnitten gezeigt, kann die Differenzierung erster Ordnung durch einen einzelnen Block durchgeführt werden, der diese Operation emuliert, in unserem Fall unter Verwendung miteinander verbundener TLs (siehe Abb. 1A, B, 2, 3). Eine Differenzierung höherer Ordnung kann beispielsweise dadurch erreicht werden, dass mehrere Differenzierer erster Ordnung kaskadiert werden, sodass die Operation erster Ordnung mehrmals hintereinander auf die einfallende Wellenfront angewendet wird. Mit anderen Worten, die ideale Übertragungsfunktion eines Differenzierers m-ter Ordnung kann durch m-faches Multiplizieren der Übertragungsfunktion erster Ordnung gefunden werden, d. h. sie kann mathematisch dargestellt werden, indem eine Übertragungsfunktion wie folgt definiert wird:

Interessanterweise gilt diese Übertragungsfunktion auch für gebrochene Ableitungen, da die Ordnung \(m\) der Ableitung ein nicht ganzzahliger Wert sein kann53. Im Zeitbereich können diese gebrochenen Ableitungen beispielsweise mithilfe der Riemann-Liouville-Gleichung54 ermittelt werden.

Dabei ist Γ die Gammafunktion55 (eine Funktion, die üblicherweise zum Erweitern von Fakultäten in komplexe Zahlen56 verwendet wird), \(\lceil m\rceil\) bezeichnet das Aufrunden von \(m\) auf die nächste ganze Zahl, \(t\) ist die Variable, die die Funktion \(f(t)\) wird nach differenziert, \(x\) ist eine Ersatzvariable zur Berechnung des Integrals und \(b\) ist der Basispunkt des Systems, der die Nichtlokalität von beschreibt nicht ganzzahlige Ableitungen57.

Um diesen Vorgang unter Verwendung der vorgeschlagenen Wellenleiterübergänge durchzuführen, präsentieren wir hier eine allgemeine Struktur für Differenzierer \(m\)-ter Ordnung, wie schematisch in Abb. 4A dargestellt. Es besteht aus mehreren „Schichten“ kaskadierter Differenzierer erster Ordnung, die über parallele Plattenwellenleiter als TLs verbunden sind. Die Anzahl, Länge und Offenheit/Geschlossenheit der Stichleitungen können für jeden Differenziererblock individuell definiert werden, was bedeutet, dass jeder Differenzierer nicht unbedingt mit seinen benachbarten Blöcken identisch sein muss. Die Länge zwischen den einzelnen Differenzierern kann ebenfalls definiert werden, was eine höhere Kontrolle über das Spektrum der Übertragungsfunktion der gesamten Struktur ermöglicht. Beachten Sie, dass eine solche Kontrolle besonders wichtig ist, wenn miteinander verbundene TL-Blöcke betrachtet werden, da mehrere Reflexionen zwischen Blöcken berücksichtigt werden müssen und tatsächlich nach Belieben angepasst werden können, indem alle verschiedenen Parameter innerhalb der gesamten Struktur ausgenutzt werden. In diesem Zusammenhang, wie es im Filterdesign bekannt ist, erhöht das Verbinden von Schichten durch eine TL der Länge \({\lambda }_{0}/4\) die „Ordnung“ des Differenzierers und damit die Bandbreite des Filters (in unserem Fall eine erhöhte Bandbreite des Minimums im Transmissionskoeffizienten47,58). Dies kann als Multiplikation der Transmissionskoeffizienten der einzelnen Schichten im Bereich um \({f}_{0}\) verstanden werden. Da die Differenzierung um ein Minimum des Übertragungskoeffizienten herum durchgeführt wird, wird bei der Betrachtung verlustfreier TLs der Großteil eines einfallenden Signals vom Differenzierer reflektiert. Auf dieser Grundlage erzeugt der hohe Reflexionskoeffizient jedes einzelnen Differenzierers bei der Kaskadierung mehrerer Differenzierer eine große stehende Welle zwischen den Schichten. Anschließend wird ein Abstand von \({\lambda }_{0}/4\) gewählt, um die verschiedenen Schichten (Differentialoperatoren) zu verbinden, um sicherzustellen, dass die Reflexionen zwischen den Schichten destruktiv miteinander interferieren und somit keinen Einfluss auf die Ausgabe der nachfolgenden haben Unterscheidungsmerkmal. Unter Verwendung der TL-Theorie wird daher die Symmetrie des Übertragungskoeffizienten um die Modulationsfrequenz \({ f}_{0}\) (eine Symmetrieanforderung aufgrund der Natur von Gleichung 5 um \({f}_{0}\)). Eine eingehende Untersuchung der Reaktion des Differenzierers m-ter Ordnung, wenn die Länge der Wellenleiter, die die Differenzierer verbinden, ist der Vollständigkeit halber im Abschnitt S3 mit ergänzenden Materialien enthalten59.

Beliebige Derivate m-ter Ordnung. (A) (oberes Feld) Schematische Darstellung des vorgeschlagenen Ansatzes mit kaskadierten Differenzierern. Die Anzahl der Stichleitungen, ihre Länge (\({L}_{s}\)), ihre offene/geschlossene Natur und die Länge der Wellenleiter, die zum Verbinden zweier Wellenleiterverbindungen verwendet werden (\({L}_{c}\) ) kann gesteuert werden, um die gewünschte Übertragungsfunktion anzupassen. (Unteres Feld) Blockdiagramm zweier miteinander verbundener Differenzierer. Die Eingaben (rote Pfeile) und Ausgaben (grüne Pfeile) der einzelnen Differenzierer werden zusammen mit den zwischen den beiden Differenzierungsblöcken erzeugten Reflexionen (gelbe Pfeile) dargestellt. (B,C) Beispiel eines Differenzierers zweiter Ordnung, der aus zwei miteinander verbundenen Übergängen besteht. (B) TL-Darstellung (links) zusammen mit der idealen/theoretischen (rot) und numerisch berechneten (schwarz) Größe des Transmissionskoeffizienten (rechtes Feld). Die Wellenleiter haben einen Querschnitt von \(w=h=0,0267{\lambda }_{0}\) und Abmessungen \({L}_{s1}={L}_{s2}={L}_{ s3}=0,7596{\lambda }_{0}\) (C) Zeitbereichssimulation eines einfallenden Gaußschen Signals mit einer Zentralfrequenz von \(8\) GHz (Standardabweichung \(\sigma =0,46\) ns) im Zeitbereich (oben links) und das entsprechende Spektrum (unten links) zusammen mit den numerischen (blau) und theoretischen Werten (gestrichelt-rot) im Zeitbereich (oben rechts) und im Frequenzbereich (unten rechts). (D,E) Dasselbe wie Panels (B,C), aber für einen Entwurf, der einen fraktionalen Differenzierer der Ordnung \(m = 0,717\) durchführt. Hier hat das einfallende Signal eine andere Zeitdauer (Standardabweichung \(\sigma =0,3536\) ns), damit sein Spektrum in den Arbeitsfrequenzbereich von \(0,25{f}_{0}\) passt. Die Stichwellenleiter haben die Abmessungen \({L}_{s1}={L}_{s3}=0,758{\lambda }_{0}, {L}_{s2}=0,505{\lambda }_{0} \).

Wie oben erläutert, ist zu erwarten, dass die Reflexionen zwischen kaskadierten Schichten groß sind, daher können Näherungen wie die Theorie der kleinen Reflexionen47 nicht verwendet werden. Stattdessen verwenden wir die Redheffer-Sternprodukt-Methode59,60, um die Übertragungsfunktionen der kaskadierten Strukturen zu berechnen. Diese Methode ist eine Alternative zur häufig verwendeten Transfermatrixmethode (TMM)61, die es ermöglicht, die Symmetrie der Streumatrix für eine höhere Recheneffizienz auszunutzen. Diese Methode lässt sich kurz wie folgt erklären:

Betrachten Sie ein Paar Streumatrizen \({{\varvec{S}}}^{1}\) und \({{\varvec{S}}}^{2}\), die so miteinander verbunden sind, dass die Ausgabe einer Matrix entsteht wird in den Eingang des anderen eingespeist und umgekehrt (siehe schematische Darstellung im unteren Bereich von Abb. 4A). Mathematisch lässt sich dies wie folgt ausdrücken:

wobei die Terme \({S}_{oi}^{1}\) und \({S}_{oi}^{2}\) die Streukoeffizienten der ersten und zweiten Streuung sind (wie durch die Nummerierung gekennzeichnet). hochgestellt) repräsentieren \(o\) und \(i\) die Ausgangs- und Eingangswellenleiter, auf die sich der Streukoeffizient bezieht. Die Terme \(y\) und \(x\) sind die Ausgabe bzw. Eingabe jedes Streuers. Der nummerierte Index gibt an, welchem ​​Streuer die Eingabe entspricht (\(1\) bedeutet den ersten bzw. \(2\) bedeutet den zweiten Streuer), während die Indizes \(L\) und \(R\) angeben, wo die Ausgabe erfolgt /input wird verwendet (links bzw. rechts vom Wellenleiterübergang). Basierend darauf kann eine kombinierte Streumatrix \({{\varvec{S}}}^{3}\) geschrieben werden als

wobei die \({S}_{oi}^{3}\)-Terme die Streukoeffizienten der Gesamtstruktur sind, definiert als:

Im Allgemeinen sind die \({S}_{oi}^{3}\)-Terme in den Gleichungen. 7–9 können als Matrizen geschrieben werden, die die Streuung zwischen mehreren Ports in einem Netzwerk darstellen. Dies ist jedoch für unsere Implementierung nicht erforderlich, da wir Streuer mit nur zwei Ports (ein Eingang, ein Ausgang) betrachten. Daher stellen die berechneten \({S}_{oi}^{3}\)-Terme die Transmissions- und Reflexionskoeffizienten für ein Signal vom Eingang \(i\) zum Ausgang \(o\) der Struktur dar (d. h. \ ({S}_{21}^{3}\) und \({S}_{11}^{3}\) ist der Transmissions- und Reflexionskoeffizient der Gesamtstruktur, der das Ergebnis der Kombination zweier Streuungen ist Matrizen zusammen, wenn das einfallende Signal von links angewendet wird). Beachten Sie, dass in dieser Konfiguration der Effekt der Verbindungslänge in einem der Streuer (z. B. \({{\varvec{S}}}^{1}\)) absorbiert wird, indem eine Phasenänderung zu den Transmissions- und Reflexionskoeffizienten hinzugefügt wird vom verbindenden Wellenleiter (also \({S}_{21}^{1}\to {S}_{21}^{1}{e}^{-i\varphi }, {S}_{22} ^{1}\to {S}_{22}^{1}{e}^{-2i\varphi }\), wobei \(\varphi =\omega {L}_{c}\sqrt{{\ varepsilon }_{r}{\mu }_{r}}/c\) ist die elektrische Länge der Verbindung), \(\omega\) ist die Kreisfrequenz des Signals und \({L}_{c} \) ist die Länge des Wellenleiters, der die beiden Schichten verbindet. Darüber hinaus wird aufgrund der reziproken Natur unserer vorgeschlagenen Differenzierer (einzelne Schicht und Gesamtstruktur \({m}^{th}\)) erwartet, dass \({S}_{11}^{3}={ S}_{22}^{3}\) und \({S}_{12}^{3}={S}_{21}^{3}\), daher sind nur zwei Berechnungen erforderlich, um benachbarte zu kombinieren Lagen. Schließlich ist das Redheffer-Sternprodukt die Operation, die die Matrizen in Gl. kombiniert. 7a in die Matrix in Gl. 8 unter Verwendung der Beziehungen in Gl. 9. Dies kann als 62 geschrieben werden

wobei „\(\star\)“ das Sternprodukt darstellt. Daraus wird die Streumatrix des kaskadierten Systems ermittelt, indem die Streumatrizen benachbarter Knotenpunkte wiederholt kombiniert werden, bis alle Knotenpunkte in einer kombinierten Streumatrix eingekapselt sind. Die Transmissions- und Reflexionskoeffizienten werden dann ermittelt, indem die Terme \({S}_{21}^{3}\) und \({S}_{11}^{3}\) jeweils aus der kombinierten Streumatrix entnommen werden .

Mit dieser Methode durchlaufen wir verschiedene mögliche Designs und bewerten in jeder Phase die Qualität des Differenzierers, indem wir den RMSE zwischen der berechneten und der idealen Übertragungsfunktion berechnen. Das Design, das am besten zur gewünschten Übertragungsfunktion passte, wurde dann in CST Studio Suite® modelliert und simuliert, um seine Leistung in einer Vollwellen-Simulationssoftware zu bewerten. Um die Flexibilität dieser Methode zu testen, haben wir zwei weitere Geräte entworfen und evaluiert. Die erste, im linken Feld von Abb. 4B gezeigte, war für die Durchführung einer Differentiation zweiter Ordnung konzipiert. Dies erfordert eine quadratische Übertragungsfunktion, die \([2\pi i(f-{f}_{0}){]}^{2}\) als \(m = 2\) in Gleichung ähnelt. 5. Die idealen und numerischen Übertragungsfunktionen (Übertragungskoeffizienten) finden Sie im rechten Feld von Abb. 4B. Der Arbeitsfrequenzbereich (hier definiert als der Spektralbereich um \({f}_{0}\), bevor die numerische Übertragungsfunktion um \(10\%\) von den idealen Spektren abweicht) wurde zu \(0,4{ f}_{0}\). Zur Bewertung der entworfenen Struktur wurde ein bei 8 GHz moduliertes Gaußsches Signal im Zeitbereich als Anregungssignal verwendet (siehe Abb. 4C). Die Standardabweichung dieses Signals beträgt \(\sigma =0,3536\) ns und ist so gewählt, dass das Spektrum des einfallenden Signals in den Arbeitsfrequenzbereich des Differenzierers fällt. Die numerischen Ergebnisse des am Ausgang der Struktur berechneten Zeitbereichssignals sind in Abb. 4C (blaue Linie) zusammen mit der theoretischen Ableitung der Hüllkurve (rote gestrichelte Linie) dargestellt, was bestätigt, wie es möglich ist, die Ableitung zweiter Ordnung damit zu berechnen die entworfene Struktur. Wie in Abb. 4C zu sehen ist, gibt es kleine Abweichungen zwischen der berechneten und der idealen Ableitung. Dies wird durch die kleine Diskrepanz zwischen der idealen und der numerischen Übertragungsfunktion bei Frequenzen erklärt, die weiter von \({f}_{0}\) entfernt sind, wie in Abb. 3C dargestellt. Dies ist ein erwartetes Ergebnis, da die Optimierung bei der Berechnung des RMSE die Unterschiede zwischen dem idealen und dem numerischen Transmissionskoeffizienten höher im Bereich um \({f}_{0}\) gewichtet hat.

Der Vollständigkeit halber und um zu zeigen, dass die Ordnung der zeitlichen Ableitung nicht unbedingt eine ganze Zahl sein muss, wurde auch eine Struktur mit der Fähigkeit entworfen, die gebrochene Ableitung der Ordnung \(m=0,717\) (zufällig ausgewählt) durchzuführen. Das Design und der Transmissionskoeffizient dieser Struktur sind in Abb. 4D dargestellt. Der Arbeitsfrequenzbereich um \({f}_{0}\), in dem der Transmissionskoeffizient der idealen Kurve für die entsprechende Ordnung \(m=0,717\) ähnelte, wurde zu ungefähr \(0,25{f}_{0) ermittelt }\) (berechnet wie oben beschrieben). Dies ist im rechten Feld von Abb. 4D zu sehen, wo der numerisch berechnete Übertragungskoeffizient (schwarzes Diagramm) mit der idealen Übertragungsfunktion (rote Linie) innerhalb eines bestimmten Frequenzbereichs um \({f}_{0}\) aber übereinstimmt es divergiert bei größeren und kleineren Frequenzen. Wie zuvor eine Zeitbereichssimulation mit einem einfallenden modulierten (\(8\) GHz) Gaußschen (\(\sigma =0,4632\) ns, sodass sein Spektrum in den Arbeitsfrequenzbereich fällt, \({f}_{ 0}\pm 0.25{f}_{0})\) wurde durchgeführt, um die Leistung des fraktionalen zeitlichen Differenzierers zu bewerten. Die numerischen Ergebnisse der berechneten Ausgangsspannung (blaues Diagramm) sowohl im Zeit- als auch im Frequenzbereich sind in Abb. 4E dargestellt, wo deutlich wird, wie das Ausgangssignal im Vergleich zum theoretischen Wert (rotes Diagramm) die gebrochene zeitliche Ableitung von darstellt das einfallende zeitliche Signal. Wie diese Ergebnisse zeigen, weist die Hüllkurve des Ausgangssignals im Zeitbereich zwei „Keulen“ auf, die um den zentralen Einbruch asymmetrisch sind (d. h. die Keulen haben unterschiedliche Amplituden und zeitliche Dauer), verglichen mit dem in Abb. dargestellten Fall der Differenzierung erster Ordnung 3. Dieses asymmetrische zeitliche Signal ist ein erwartetes Merkmal gebrochener Ableitungen mit \(0

Zusammenfassend wurde eine Methode zur Durchführung einer analogen Differenzierung zur Hüllkurve einfallender zeitlicher Signale vorgeschlagen, indem die Aufteilung und Überlagerung von TEM-Wellen innerhalb von Parallelplatten-Wellenleiterverbindungen ausgenutzt wird. Zu diesem Zweck wurden an solchen Verbindungsstellen verbundene Stichleitungen mit geschlossenen Enden verwendet, um den Übertragungskoeffizienten der vorgeschlagenen Struktur so anzupassen, dass er dem Differentiationsoperator der Ordnung \({m\mathrm{th}}\) im Frequenzbereich ähnelt. Eine vollständige mathematische Beschreibung der Aufteilung und Überlagerung von Signalen innerhalb dieser Strukturen wurde anhand des Streumatrix-Ansatzes präsentiert. Verschiedene Designs wurden numerisch demonstriert, beispielsweise die Berechnung der zeitlichen Differenzierung erster (m = 1) und gebrochener Ordnung (m = 0,717) einer zeitlichen Gaußschen Hüllkurve, die sinusförmig moduliert ist (Modulationsfrequenz \(8\) GHz). Weitere Beispiele waren unter anderem Umschläge mit beliebigen Formen und die Verwendung der Technik im Reflexions- und Transmissionsmodus. Es wurde eine gute Übereinstimmung zwischen allen präsentierten Ergebnissen und den entsprechenden analytischen Berechnungen festgestellt. Wir gehen davon aus, dass diese Arbeit die Entwicklung weiterer auf Zeitbereichswellen basierender analoger Computergeräte ermöglichen und neue Wege für das Hochgeschwindigkeitsrechnen eröffnen könnte.

Die in den Abb. gezeigten numerischen Simulationen. 1C, 2, 4B,D wurden mit dem Frequenzbereichslöser der kommerziellen Software CST Studio Suite® durchgeführt, während die Ergebnisse in Abb. 1E,F, 2, 4C,E mit dem Zeitbereichslöser. Parallelplattenwellenleiter (obere und untere PEC-Randbedingungen) mit einem Querschnitt (\(w=h=1\) mm \(= {0,0267\lambda }_{0}\), wobei \({\lambda }_{ 0}=37,5\) mm) sofern implementiert, sofern im Haupttext nicht anders angegeben. Vakuum (\({\varepsilon }_{r}=1,{\mu }_{r}=1\)) wurde sowohl als Wellenleiterfüllmaterial als auch als Hintergrundmedium der Simulation verwendet. Zur Anregung/Extrahierung der Eingangs-/Ausgangssignale wurden Wellenleiteranschlüsse verwendet. Diese Anschlüsse wurden an den Enden der Eingangs-/Ausgangswellenleiter platziert, wobei letztere eine Länge von \(25\) mm \((0,667{\lambda }_{0})\) von den Anschlüssen bis zur Position der Verbindungsstelle aufwiesen . Für die in Abb. 3A,C gezeigten Ergebnisse betrug dieser Abstand stattdessen \(500\) mm = \({13,3\lambda }_{0}\), um die Wellen, die sich in den Raumzeitdiagrammen ausbreiten, besser beobachten zu können. Die Randbedingungen wurden so eingestellt, dass sie sich in der \(x\)- und \(y\)-Achse öffnen (Raum hinzufügen) und in der \(z\)-Dimension öffnen, um Hintergrundraum nach der Struktur hinzuzufügen bzw. unerwünschte Reflexionen zu vermeiden. Gaußsche Signale in den Zeitbereichssimulationen wurden gemäß den Gleichungen \(G\left(t\right)= {e}^{-(t-4{)}^{2}/2{\sigma }^{2} definiert. }\mathrm{sin}(2\pi {f}_{0}t)\), wobei \({f}_{0}\) die Modulationsfrequenz und \(\sigma\) der Zeitbereichsstandard ist Abweichung und \(t\) ist die Zeit.

Die Daten, die die Ergebnisse dieser Studie stützen, sind im Artikel und seinen ergänzenden Materialien verfügbar. Weitere spezifische Daten, die die Ergebnisse dieser Studie stützen, sind auf begründete Anfrage beim jeweiligen Autor erhältlich.

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Ross Glyn MacDonald & Victor Pacheco-Rock

School of Engineering, Newcastle University, Newcastle Upon Tyne, NE1 7RU, Großbritannien

Ross Glyn MacDonald und Alex Yakovlev

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Alle Autoren haben gleichermaßen zu dieser Arbeit beigetragen.

Korrespondenz mit Victor Pacheco-Peña.

Die Autoren geben an, dass keine Interessenkonflikte bestehen.

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Nachdrucke und Genehmigungen

Glyn MacDonald, R., Yakovlev, A. & Pacheco-Peña, V. Zeitableitungen über miteinander verbundene Wellenleiter. Sci Rep 13, 13126 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-40046-3

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Eingegangen: 14. Juli 2023

Angenommen: 03. August 2023

Veröffentlicht: 12. August 2023

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-40046-3

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